一般向けノート

知っていると便利なフィボナッチ数列

本日は、脳科学や心理学の内容ではなく、ご存知の人も多いかと思いますが、自然界に多く存在する数列であるフィボナッチ数列について書きたいと思います。

タイトル：Fibonacci numbers: A population dynamics perspective.

著者：Supriatna AK, Carnia E, Ndii MZ.

雑誌：Heliyon. 2019; 5(1); e01130.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946,・・・

これがフィボナッチ数列ですが、どういう原理で並んでいるのでしょか？

これはその数字の前の２つの数字の和がその数字になる法則で並んでいます。

例えば、5であれば前の２つの数字は2と3であり、足すと5になり、377であれば前の２つの数字は144と233であり、足すと377になります。

これを数式で表すと

α₁  = α₂ = 1

α_n+2  = α_n+1 + α_n(n >=1)

になります。

これはイタリアの数学者であるレオナルド・フィボナッチが提唱した数列です。

フィボナッチが考案した有名な問題として、ウサギの問題があります。

この問題の条件は以下の２つです。

・１つがい（雄雌の組み）のウサギは、産まれてから2ヶ月後から毎月１つがいずつのウサギを産む

・ウサギが死ぬことはない

この問題を図で表すと以下になります。

このように0ヶ月では１つがい、1ヶ月後ではまだ子供を産まないので１つがい、2ヶ月後は１つがいの子供を産むため２つがいになり、3ヶ月後では３つがい、4ヶ月後では５つがい、5ヶ月後では８つがいというようにフィボナッチ数列の順で増えていきます。

また、フィボナッチ数列を使えば数学の問題も簡単に解けることができます。

例えば、階段を１歩か２歩（１段飛ばし）で上がるとき、10段の階段の上がり方は何通りあるでしょうか？

これは１つずつ数えていく方法でもできますが、時間がかかってしまいます。

ここでのポイントは、上がり方は１歩または２歩の２パターンあるということです。

１段目への上がり方は１通り

２段目への上がり方は１段目から１歩で上がる方法と０段目から２歩で上がる方法の２通り

では、３段目への上がり方を考えたときに３段目へ上がるためには１段目か２段目にいることになります。

つまり、１段目へ上がる方法＋２段目へ上がる方法の和になることがわかります。

１段目への上がり方は１通り、２段目への上がり方は２通りになるので３段目へ上がる方法は１＋２で３通りになります。

では、４段目への上がり方をこの要領で考えると２段目への上がり方は２通り、３段目への上がり方は３通りになるので２＋３で５通りになります。

５段目は３＋５で８通り

６段目は５＋８で１３通り

７段目は８＋１３で２１通り

８段目は１３＋２１で３４通り

９段目は２１＋３４で５５通り

１０段目は３４＋５５で８９通り

つまり１０段の階段の上がり方は８９通りになり、これはフィボナッチ数列の数字になることがわかります。

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また、この数列は自然界に多数存在していることがわかっています。

例えば、花びらの多くのフィボナッチ数列の数字であることが多いです。

ユリやアヤメは３枚、サクラソウは５枚、コスモスは８枚、他多数

さらに、ほとんどの木の枝分かれや私たちの気管支の枝分かれ、肝臓の血管の枝分かれなどはフィボラッチ数列によって枝分かれしていくことがわかっています。

さらには、フィボナッチ数列の隣り合う数字の比は1 : 1.6になることがわかっています。

例えば、34 : 55 = 1 : 1.61764、233 : 377 = 1 : 1.61802

この1 : 1.6は黄金比と呼ばれており、人が最も美しいと感じる割合になっています。

この黄金比はクレジットカードの縦と横の比であったり、ピラミッドの高さ：底辺が1 : 1.6、ミロのヴィーナスの彫刻やモナリザの絵もこの黄金比になっています。

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